Question

己知a>0，b>0且a+b=1，求证a分之1加b分之一大于等于4

求证、平方(a+2分之一)+平方(b+2分之一)大于等于2

Answer 1

∵a>0，b>0
∴ab>0
将a+b=1两边同时除以ab，
1/b+1/a=1/ab
∵a+b=1
∴当a=b时，ab有最大值为1/2×1/2=1/4
1/b+1/a就有最小值是4，就是a分之1加b分之一大于等于4。

Answer 2

证明：1/a+1/b=(a+b)/ab=1/a(1-a)=1/(a-1/2)(a-1/2)+1/4
因为a>0,b>0,a+b=1
所以0<a<1,当a=1/2的时候，取最小值
所以1/a+1/b大于等于4

由于没用软件，直接打的，不怎么规范，但是还是能看懂的，就是通过配方再结合已知条件求出最小值。

Answer 3

1、1/a＋1/b=(a＋b)×[(1/a)＋(1/b)]=2＋[(a/b)＋(b/a)]≥2＋2=4，则：
(1/a)＋(1/b)≥4
2、左边=a²＋a＋b²＋b＋(1/2)=(a＋b)²＋(a＋b)＋(1/2)－2ab=(5/2)－2ab，1=a＋b≥2√(ab)，则：ab≤(1/4)，则：左边

Answer 4

已知a+b=1，所以(a+b)的平方等于1，
即得到1式 （a+b）^2=a^2+b^2+2ab=1，
因为a>0，b>0，所以满足重要不等式a^2+b^2>=2ab，
所以1式变为（a+b）^2=a^2+b^2+2ab>=4ab
原式1/a+1/b=(a+b)/ab=(a+b)^2/ab>=4ab/ab=4
证毕。
注：(a+b)=1,所以(a+b)^2=1
看不懂再问我吧

Answer 5

ab=a(1-a)=-a²+a=-a²+a-1/4+1/4=-(a-1/2)²+1/4<=1/4
∴ab<=1/4
又∵a>0 b>0
∴ab>0
∴1/ab>=1/4

1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab>=1/4