Question

求高手极限问题

y=（tantanx-sinsinx）/[x（e^（-x^2）-1）]当x→0时的极限?

Answer 1

楼上错误，拆开的两项极限都不存在，是不能拆的
lim [x-->0] （tantanx-sinsinx）/[x（e^（-x²）-1）]
分母等价无穷小代换
=lim [x-->0] （tantanx-sinsinx）/x³
洛必达法则
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-1+1-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-1）/3x²+lim [x-->0] （1-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-1）/3x²+lim [x-->0] （1-cos(sinx)*cosx）/3x²
=M+N
两个极限分别来求，求法类似

M=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-1）/3x²
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-sec²x+sec²x-1）/3x²
=lim [x-->0] （sec²(tanx)*sec²x-sec²x）/3x²+lim [x-->0] （sec²x-1）/3x²
=lim [x-->0] sec²x(sec²(tanx)-1)/3x²+lim [x-->0] tan²x/3x²
=lim [x-->0] sec²xtan²(tanx)/3x²+lim [x-->0] tan²x/3x²
等价无穷小代换，tan²(tanx)等价于tan²x等价于x²
=lim [x-->0] x²sec²x/3x²+lim [x-->0] x²/3x²
=1/3+1/3
=2/3

N=lim [x-->0] （1-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （1-cosx+cosx-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （1-cosx）/3x²+lim [x-->0] （cosx-cos(sinx)*cosx）/3x²
=lim [x-->0] （1-cosx）/3x²+lim [x-->0] （1-cos(sinx)）cosx/3x²
等价无穷小代换，1-cos(sinx)等价于1/2sin²x等价于1/2x²
=lim [x-->0] (1/2)x²/3x²+lim [x-->0] 1/2x²cosx/3x²
=1/6+1/6
=1/3

原极限=M+N=2/3+1/3=1

Answer 2

根据等价无穷小代换
lim(x->0) （tantanx-sinsinx）/[x（e^（-x^2）-1）]
=lim(x->0)（tantanx-sinsinx）/(-x^3)
=lim(x->0) tantanx/(-x^3) - lim(x->0) sinsinx/(-x^3)
=lim(x->0) tanx/(-x^3) - lim(x->0) sinx/(-x^3)
=lim(x->0) x/(-x^3) - lim(x->0) x/(-x^3)
=0