用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+……+n(3n+1)=n(n+1)2
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证明：
n=1时，1*4=1*(1+1)^2成立
假设n=k时，命题成立
n=k+1时，1*4+2*7+3*10+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)
=k(k+1)^2 +(k+1)(3k+4)
=(k+1)[k(k+1)+3k+4]
=(k+1)(k^2 +4k+4)
=(k+1)(k+2)^2
∴n=k+1时命题成立了
综上，原命题成立。
n=1时，1*4=1*(1+1)^2成立
假设n=k时，命题成立
n=k+1时，1*4+2*7+3*10+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)
=k(k+1)^2 +(k+1)(3k+4)
=(k+1)[k(k+1)+3k+4]
=(k+1)(k^2 +4k+4)
=(k+1)(k+2)^2
∴n=k+1时命题成立了
综上，原命题成立。
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