Question

已知函数f(x)=(x-k)^2*e^(x/k)

(1)求f(x)的单调区间
(2)若对于任意x属于(0,+无穷大),都有f(x)≤1/e,求k的取值范围

Answer 1

对f(x)求导数得到f(x)'=(e^(x/k)/k)(x-k)(x+k)
令f(x)'=0;得x1=k,x2=-k两个驻点，这里恰好也为极值点;
当k>=0时,单调区间(-∞,-k]∪(k,+∞)单调递增;（-k,k]单调递减
k<0时单调区间(-∞,k]∪(-k,+∞)单调递减;（k,-k]单调递增

对任意x>=0都有f(x)<=1/e也就是说在此区间内f(x)的最大值<=1/e
由（1）知,对x>=0可以分两类情况讨论
a)k>0时，(k,+∞)单调递增[0,k]单调递减
需要比较端点值(因为x=k是极小值点)
f(0)=k^2;f(+∞)-->+∞不满足条件

b)k<0时，(-k,+∞)单调递减，[0,-k]单调递增
只需考虑f(0)（因为x=0是极大值点）
f(0)=k^2<=1/e
解得-(1/e)^(1/2)<=k<0