Question

矩阵的秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系

Answer 1

[21考研必看]小侯七线代基础09 矩阵的秩

Answer 2

引用offline655的回答：
根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：
1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

r(A)+r(B)<=n-r(AB)错误，应改为r(A)+r(B)<=n＋r(AB)

Answer 3

引用offline655的回答：
根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：
1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

第二条是r(AB)>=r(A)+r(B)-n

Answer 4

根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：
1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

Answer 5

根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：
1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。