Question

已知如图，△ABC中∠1=∠2=20°，且BD+AD=BC，求证：AB=AC.

Answer 1

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
在BC上截取BF=AB，连接DF
∵∠1=∠2，BD=BD
∴⊿ABD≌⊿FBD（SAS）
∴AD=DF=CE
∠BFD=∠A
∵BD=BE，∠2=20º
∴∠BED=80º，∠CDE=80º-∠C
∠DFE=180º-∠A=∠ABC+∠C=40º+∠C
∵CE/DE=sin∠CDE/sin∠C=sin(80º-C)/sinC【sin∠C简写为sinC】
DF/DE=sin∠BED/sin∠DFE=sin80º/sin(40º+C)
∵CE/DE=DF/DE
∴sin(80º-C)/sinC=sin80º/sin(40º+C)
sin(80º-C)×sin(40º+C)=sin80º×sinC
(sin80ºcosC-cos80ºsinC)×(sin40ºcosC+cos40ºsinC)=sin80ºsinC
sin40ºsin80ºcos²C+sin80ºcos40ºsinCcosC-cos80ºsin40ºsinCcosC-cos40ºcos80ºsin²C=sin80ºsinC 【cos²C用1-sin²C】
最后化简为sin80º（sin40º-sinC)+sinCsin(40º-C)=0
∵ 0＜C＜140º
当C＜40º时，sin40º-sinC＞0，sin（40º-C）＞0，等式不成立
当40º＜C＜140º时，sin40º-sinC＜0，sin（40º-C）＜0，等式也不成立
当C＝40º时，等式成立
∴∠C=∠ABC=40º
∴AB=AC

Answer 2

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
∵∠1=∠2=20°，BD平分∠ABC
∴AB：BC=AD：CD【正弦定理，互补角替换】
∴AB：BC=CE：CD【等边替换】
又∵∠ACB=∠ECD【公共角】
∴⊿ACB∽⊿ECD【对应边成比例夹角相等】
∴∠A=∠DEC
∵∠2=20º
∴∠BED=（180º-∠2）÷2=80º【等腰三角形】
∴∠A=∠DEC=100º
∴∠C=180º-∠A-∠ABC=40º
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC

追问

∴AB：BC=CE：CD【等边替换】
又∵∠ACB=∠ECD【公共角】
∴⊿ACB∽⊿ECD【对应边成比例夹角相等】
角平分线定理这个思路很好，收啦
不过这个相似有点问题~边没问题，但有一个角好像不是夹角

Answer 3

证明：
在BC上截取BE，使BE=BD，连接DE
因为BD+AD=BC，所以BE+EC=BD+AD=BC
又因为BD=BE，所以DE=EC,∠DCE=∠CDE
因为BD=BE,所以∠BDE=∠BED=（180°-20°）/2=80°
而BED=∠DCE+∠CDE=80°，所以,∠DCE=40°
又因为∠ABC=20°+20°=40°=∠DCE，
所以，AB=AC

追问

又因为BD=BE，所以DE=EC
DE=EC是怎么证的呀。

Answer 4

证明：如图，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．
又∵∠1=∠2，BD是公共边，BE=BA，
∴△ABD≌△EBD
∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°
∵AB=AC，BD平分∠ABC
∴∠1=∠2=20°，∠3=40°
∵BC=BF，∠2=20°，
∴∠F=∠FCB=12（180°-∠2）=80°则∠F=∠DEC
∴∠4=80°-∠3=40°，
∴∠3=∠4，∠F=∠DEC，
又∵DC=DC，∴△DCE≌△DCF（AAS）
∴DF=DE=AD
∴BC=BF=BD+DF=BD+AD

Answer 5

证明：在BC上取一点E使得BE=BA，连结DE
∵BA=BE，∠1=∠2，BD=BD
∴△ADB≌△EBD
∴AD=ED，∠ADB=∠EDB
延长BD至点F，使得AD=DF，连结CF
∴BF=BD+DF=BD+AD=BC
∴∠BCF=∠BFC=﹙180°-20°﹚/2=80°
又∵∠CDF=∠ADB=∠EDB，DF=AD=ED，CD=CD
∴△CDE≌△CDF
∴∠DCE=∠DCF=﹙1/2﹚×∠BCF=40°
而∠ABC=∠1+∠2=40°
∴∠ABC=∠ACB
∴AB＝AC

追问

又∵∠CDF=∠ADB=∠EDB，DF=AD=ED，CD=CD
∴△CDE≌△CDF
这一步似乎有些问题，SAS差一个角好像

追答

是有问题，抱歉了