Question

已知f(x)为偶函数且f(x)在(0,正无穷)上是减函数,证明:f(x)在(负无穷,0)上是增函数

要有步骤。。谢谢！！

Answer 1

f(x)为偶函数
f(-x)=f(x)
x1>x2>0
f(x)在(0,正无穷)上是减函数
f(x1)<f(x2)
-x1<-x2<0...........................(1)
f(-x1)-f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
f(-x1)<f(-x2).........................(2)
由（1）（2）可知
f(x)在(负无穷,0)上是增函数

Answer 2

设X1，X2是在负无穷到0上的不等实数且X2-X1>0
所以-X1,-X2在在0到正无穷上有-X2-(-X1)<0
∵f(x)在0到正无穷上是减函数
∴F(-X2)-F(-X1)>0
∵f(x)为偶函数
∴F(X)=F(-X)
∴F(X2)-F(X1)>O
∵X2-X1>0
所以f(x)在负无穷到0上是增函数

Answer 3

任取x1<x2<0,则
f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1)

但是0<-x2<-x1,并且由f(x)在(0,正无穷)上是减函数

得到f(-x2)>f(-x1)，得到f(-x2)-f(-x1)>0

所以f(x2)-f(x1)>0 所以f(x)在(负无穷,0)上是增函数