Question

已知a>0,函数f(X)=lnx-ax2,x>0 (1) 当a=1/8时，证明：存在x0属于（2，正无穷），使f(x0)=f(3/2)

(3),若存在均属于区间【1,3】的α，β，且β-α>=1,使f(α)=f(β),证明：(ln3-ln2)/5<=a<=ln2/3

Answer 1

1)，证明：得到定义域为(0,正无穷)
设F(x)=f(x)-f(3/2)
F'(x)=1/x-x/4=(4-x^2)/4x=0时，x=2,
当0<x<2时，F(x)单调增，
当x>2时，F(x)单调减，
故F(2)为极大值，判断得 ，也为最大值。
F(2)>0,
F(10)<0,
所以存在x0属于(2,10)使F(x)=0,
即得证存在x0属于（2，正无穷），使f(x0)=f(3/2)
题目中的a我用A代替，α用a代替.(不好意思，打不出来）
3),由条件有lna-Aa^2=ln(a+1)-A(a+1)^2在a属于[1，2]上有解，
化简得，A(2a+1)+lna-ln(a+1)=0，
A=[ln(a+1)-lna]/(2a+1)
设G(x)=[ln(x+1)-lnx]/(zx+1)
下证其单调减，
先作个准备工作，证明g(x)=ln(x+1)-lnx单调减。
g'(x)=1/(x+1)-1/x<0恒成立，显然单调减。
设任意x1,x2属于[1，2]，x1<x2
G(x1)=[ln(x1+1)-lnx1]/(2x1+1)>[ln(x2+1)-lnx2]/(2x1+1)>[ln(x2+1)-lnx2]/(2x2+1)=G(x2)
所以得证G(x)单调减。
所以G(x)属于[ln3-ln2)/5，ln2/3]
即有(ln3-ln2)/5<=a<=ln2/3
故得证，
希望可以帮到你。