Question

已知等比数列an的前n项和为sn，a1=1，an＜an+1，且S3=2s2+1

若数列bn满足bn=（2n-1）*an（n∈n*），求数列bn的前n项和Tn

Answer 1

解：
a1=1>0，又an<a(n+1)，因此公比q>1
S3=2S2+1
a1+a2+a3=2(a1+a2)+1
a3-a2-a1-1=0
a1q²-a1q-a1-1=0
a1=1代入，得：q²-q-2=0
(q+1)(q-2)=0
q=-1(舍去)或q=2
an=a1qⁿ⁻¹=1·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹
bn=(2n-1)an=(2n-1)·2ⁿ⁻¹
Tn=b1+b2+b3+...+bn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2ⁿ⁻¹
2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2ⁿ⁻¹+(2n-1)·2ⁿ
Tn-2Tn=-Tn=1+2·2+2·2²+...+2·2ⁿ⁻¹-(2n-1)·2ⁿ
=2·(1+2+2²+...+2ⁿ⁻¹)-(2n-1)·2ⁿ-1
=2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ-1
=(3-2n)·2ⁿ-3
Tn=(2n-3)·2ⁿ+3