Question

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f（x-1）的图像关于点（1,0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=

Answer 1

这种题无非是根据函数的周期性、奇偶性之类性质求值。
由f(x+6)+f(x)=2f(3)，知f(x+12)+f(x+6)=2f(3),两式相减，得f(x+12)=f(x)
由y=f（x-1）的图像关于点（1,0）对称，知f(x-1)+f(1-x)=0,故f(x)是奇函数。
由f(x+6)+f(x)=2f(3)，令x=-3,得f(3)=f(-3),于是f(3)=f(-3)=0，f(x+6)+f(x)=0.
于是f(2012)=f(2012-12*167)=f(8)=-f(2)=f(-2)=-f(4)=-4