Question

在梯形ABCD中，AD平行BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3,AC=4

求证AC⊥BD
求梯形ABCD的面积

Answer 1

(1)由 AD//BC知AO/OC=OD/OB=AD/BC=2/3
∴BO/AC=OC/BD=3/5
BO=9/5 OC=12/5
∴BO²+OC²=(9/5)²+(12/5)²= 3² ∵BC=3
∴BO²+OC²=BC²
∴⊿BOC为直角三角形 AC⊥BD
(2)AO/OC=2/3
AO=2/3*12/5=8/5
S△AOB=1/2AO*BO=1/2*8/5*9/5=36/25

Answer 2

初二的方法
作de∥ac交bc的延长线于e
∵ad∥bc∴aced是平行四边形
∴ad＝dc＝2
ac=de=4
∴be=3+2=5
∵bd²＋de²=3²+4²=25
be²=5²=25
∴bd²+de²=be²
∴∠bde＝90°
∵de∥ac
∴∠bdc＝∠boc＝90°
∴ac⊥bd

Answer 3

(1)由 AD//BC知AO/OC=OD/OB=AD/BC=2/3
∴BO/AC=OC/BD=3/5
BO=9/5 OC=12/5
∴BO²+OC²=(9/5)²+(12/5)²= 3² ∵BC=3
∴BO²+OC²=BC²
∴⊿BOC为直角三角形 AC⊥BD
(2)AO/OC=2/3
AO=2/3*12/5=8/5
S△AOB=1/2AO*BO=1/2*8/5*9/5=36/25

Answer 4

用三角相似：△AOD与△BOC相似，do/ob=ao/oc=ad/bc=2/3，bd=3，，ac=4
bo=9/5，co=12/5，bo²+co²=81/25+144/25=9=bc²，所以：AC⊥BD
梯形ABCD的面积为6