求y=ln(1+x^2)的单调区间，极值，凹性和拐点，求详细过程
y'=2x/(1+x^2)
当x>0时，y'>0，函数递增；当x<0时，y'<0，函数递减
y''=(2-2x^2)/(1+x^2)^2
因为y'(0)=0，且y''(0)>0，所以函数的极小值为y(0)=0
当-1<x<1时，y''>0，函数下凹；当x<-1或x>1时，y''<0，函数上凹
当x=±1时，y''=0，则函数的拐点为(1，ln2)和(-1，ln2)
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的。
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
扩展资料：
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。
把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。
当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值。
这里的极大和极小只具有局部意义。因为函数的一个极值只是它在某一点附近的小范围内的极大值或极小值。函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不一定大于某个极小值。函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。
对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0。
参考资料来源：百度百科——函数
简单分析一下，答案如图所示
当x>0时，y'>0，函数递增；当x<0时，y'<0，函数递减
y''=(2-2x^2)/(1+x^2)^2
因为y'(0)=0，且y''(0)>0，所以函数的极小值为y(0)=0
当-1<x<1时，y''>0，函数下凹；当x<-1或x>1时，y''<0，函数上凹
当x=±1时，y''=0，则函数的拐点为(1,ln2)和(-1,ln2)
待续
