Question

已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点。如图，设它的顶点位B。

（1）求m的值（2）过点A作x轴的平行线交于点C，求证△ABC是等腰直角三角形（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，若以B为圆心，2为半径作圆，试判断圆B与直线EF的位置关系

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= 2 ．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= 2 ．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则P1M EM =OE OF =1 3 ，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或x1=10 3 ．
把x1=10 3 代入①中可解得，
y1=13 9 ．
∴P1（10 3 ，13 9 ）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得FN P2N =OE OF =1 3 ，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2=3（3+x22-2x2-3），
整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2=7 3 ．
把x2=7 3 代入②中可解得，
y2=-20 9 ．
∴P2（7 3 ，-20 9 ）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（10 \3 ，13| 9 ）或（7| 3 ，-20| 9 ）．

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= 2 ．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= 2 ．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则P1M EM =OE OF =1/ 3 ，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x12-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x12-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或x1=10/ 3 ．
把x1=10 /3 代入①中可解得，
y1=13/ 9 ．
∴P1（10 /3 ，13 /9 ）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同理可得P2（7 /3 ，-20 /9 ）．

Answer 3

m=2
A(0,1),B(1,0),C(2,1)，三角形ABC为等腰三角形，kAB=-1,kBC=1,kABXkBC=-1,所以<ABC=90'
所以三角形ABC为等腰直角三角形
y=x²-2x-3,E(-1,0),F(0,-3),直线EF的方程为3x+y+3=0,则B到直线EF的距离为3/5倍的根号10，小于2，于是直线与园相离

Answer 4

1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x2-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x2-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=13x+b把E点和F点分别代入可得b=13或-3，∴y=13x+13或y=13x-3列方程得y=13x+13 y=x2-2x-3 解方程x1=-1,x2=103, x1 是E点坐标舍去，把x2=103代入得y=139,∴P1（103，139）同理y=13x-3 y=x2-2x-3 易得x1 = 0舍去，x2= 73代入y=-209,∴P2(73,-209)