Question

已知数列{xn}中,x1=1,xn+1=1+xn/(p+xn)（n∈N*,p是正常数）.当p=2时， 用数学归纳法证明xn<√2(n∈N)。

Answer 1

1.n=1时，x1=1<√2。命题成立。
2.假设n=k时，命题成立，即xk<√2
则当n=k+1时，有
x(k+1)=1+xk/(2+xk)=2-2/(xk+2)
因为xk<√2，所以xk+2<√2+√2
所以2/(xk+2)>2/(2+√2)=2-√2
所以2-2/(xk+2)<2-(2-√2)=√2
即x(k+1)<√2，命题成立
综上1,2,可得xn<√2(n∈N)。