Question

令人蛋疼的一道数学题，大神们帮忙啊 ！！！！

完整的题是： 已知椭圆C 的标准方程 ，F1 ，F2为其左右焦点，p为椭圆C上任一点，三角形F1PF2的重心为G 内心为I 且有IG向量= 入F1F2向量
1。求椭圆的离心率
2.过焦点F2的直线l与椭圆C相交于M 、N ，若三角形F1MN的面积最大值为3，求椭圆C的方程。

Answer 1

1设P(x,y), G(x/3,y/3), F1(-c,0), F2(c,0), I(x/3-2c入)，将直线PF1，PF2用点斜式设出。
利用P在椭圆上、G到PF1距离等于y/3、G到PF2距离等于y/3，可得到三个方程，输入太难打，自己写。
解得：e=c/a=根号(9入^2+1)/6入，（粗略计算，不一定准确）

2.设M(x1,y1), N(x2,y2) 则S=1/2*2c*(y1-y2)
利用过焦点直线与椭圆的方程，易证当x1=x2=-c时，S取得最大值，即3=2a^2*e(1-e), 可解出a，再结合1中的e，可得到b。自己解~

Answer 2

解：(1)设P（x，y）；有题可知IG//F1F2; 所以I点与G点的纵坐标相等；
Yi=Yg=y/3;
点I到F1F2的距离为y/3；
三角形PF1F2面积为0.5*F1F2*y=0.5*(y/3)(F1F2+PF1+PF2）；
即y*c=（y/3）(a+c); 2c=a; e=1/2;
(2)三角形F1MN的面积=1/2*2c(Yn-Ym); (Yn>Ym);
L:y=my+c;
3x^2+4y^2=12c^2;
联立得Ym-Yn的最大值为2*根号3*c；解得c^2=(根号3)/2;从而解出椭圆方程

Answer 3

解：（1）设P（x0，y0），c=a²-b²，
G(x0／3，y0／3)，
I纵坐标为y0／3，|F1F2|=2c
∴S△F1PF2=1／2•|F1F2|•|y0|=1／2(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|y0／3|
2c•3=2a+2c
a=2c
e=c／a=1／2
（2）设x²／4c²+y²／3c²=1(c＞0)，M（x1，y1），N（x2，y2）
MN；x=my+c，
3（my+c）²+4y²=12c²
（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴y1+y2=-6mc／4+3m²，y1y2=-9c²／4+3m²
∴S△F1MN=1／2•|F1F2|•|y1-y2|=c√(-6mc／4+3m²)²-4(-9c²／4+3m²)=12c²√m²+1／(4+3m²)²
令m²+1=t，则有t≥1且m²=t-1，
∴m²+1／(4+3m²)²=g(t)=t／[4+3(t-1)]²=t／9t²+6t+1=1／9t+1／t+6，
g（t）在[1，+∞）单调递增，
∴g(t)min=g(1)=1／16，
∴S△F1MN最小值=12c²•1／4=3
c²=1
∴x²／4+y²／3=1．

追问

第一问 I的纵坐标为什么是 y0/3?

追答

∵IG=λF1F2，
∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为y0/3，