Question

已知函数f（x）=√2x-x^2+1,则对任意实数x1,x2,且0＜x1＜x2＜2.为什么有x1f(x1)＜x2f(x2)

Answer 1

xf(x）=√2x^2-x^3+x，只要求导证明xf(x）在（0 2）内是增函数，但明显你题目错了。因为x在（(√2-√5)/2,(√2+√5）/2,）内是单调递增的，也就是说在（(√2+√5）/2，2）内xf(x）是单调递减的，如果x1落在（0，,(√2+√5）/2,）内，x2落在（(√2+√5）/2，2）内，那么总能找到这样的x1,x2，使得x1f(x1)>x2f(x2).
所以鄙人怀疑你把0＜x1＜x2＜√2，误写成0＜x1＜x2＜2了，请斧正。。

Answer 2

设g(x)=xf(x)
g'(x)=f(x)+xf'(x)=√2x-x²+1+x(√2-2x)=2√2x-3x²+1=-3(x-√2/3)²+5/3
g'(x)=0 解得 x=√2/3±√5/3 √2/3+√5/3≈1.2 √2/3-√5/3≈-0.3
0<x<1.2时,g'(x)>0 g(x)在该区间单调递增
0＜x1＜x2＜1.2 g(x1)<g(x2)
即x1f(x1)＜x2f(x2)

你的题目是不是有点问题 0＜x1＜x2＜2是不是应该是0＜x1＜x2＜1.2