Question

已知数列{an}中，an=2-1/a(n-1)(n>=2,n属于N+）若a1=3/5，求an中最大项和最小项（有没有不是归纳法的解法

Answer 1

由于a(n)=2-1/a(n-1), a(n)-1=1-1/a(n-1)=[a(n-1)-1]/a(n-1), b(n)=1/[a(n)-1]=a(n-1)/[a(n-1)-1]
b(n)-b(n-1)=a(n-1)/[a(n-1)-1]-1/[a(n-1)-1]=[a(n-1)-1]/(a[n-1]-1)=1
b(n)=b(n-1)+1，｛bn｝是等差数列。d=1
b(n)=b(1)+(n-1)*1。b(1)=1/[a(1)-1]=-5/2
b(n)=n-7/2=(2n-7)/2
又b(n)=1/[a(n)-1]
a(n)=1/b(n)+1=2/(2n-7)+1。
又因为函数f(x)=1/x+1在x<0及x>0时分别单调递减。
然后分类讨论，
当2n-7>=1>0(n>=4)时，1<a(n)<=a(4)=3。
当2n-7<=-1<0(n<=3)时，a(3)=-1<=a(n)<1。
因此a(n)的最小项为a(3)=-1, 最大项为a(4)=3。

Answer 2

可以构造一个关于x的特征方程即x的辅助函数进而求导可解之。