Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已S1=1,S2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0

设数列{an}的前n项和为Sn,已S1=1,S2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（a≥2）
1、求数列{an}的通项公式
2、求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

解：1、由S1=1得a1=1，又由S2=2可知a2=1．
∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2），
∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0（n≥2），
即（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）=0（n≥2），
∴an+1=2an（n∈N*且n≥2），
故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．
∴数列{an}的通项公式为an=1（n=1），an=2^（n-2）（n〉1）
2、数列{an}的前n项和为：
Sn=a1+a2+...+an
=1+1+2^1+2^2+...+2^(n-2)
=2+2[2^(n-2)-1]/(2-1)
=2^(n-1)

Answer 2

Sn+1-3Sn+2Sn-1=0
Sn+1-2Sn=Sn-2Sn-1
S2-2S1=2-2=0
数列{Sn+1-2Sn}是各项均为0的常数数列。
Sn-2Sn-1=0
Sn-2(Sn-an)=0
Sn=2an
Sn-1=2a(n-1)
Sn-Sn-1=an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
a1=S1=1 a2=S2-a1=2-1=1
n≥3时，an=a1×2^(n-2)=2^(n-2)
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
1 n=2
2^(n-2) n≥3

Sn=a1+a2+...+an
=1+1+2^1+2^2+...+2^(n-2)
=2+2[2^(n-2)-1]/(2-1)
=2^(n-1)

Answer 3

S2-S1=a2=1,a(n+1)-2an=0,所以当n≥2时，｛an｝成等比数列，首相为a2=1，公比为2
当n=1时，a1=1
当n≥2时，an=2^(n-2)
Sn=a1+a2+a3+```+an=2^(n-1)