Question

一根粗细均匀的软绳长为L，质量为m放在光滑水平桌面边上，有全长的1/4沿桌边下垂。如软绳从静止开始运动，

一根粗细均匀的软绳长为L，质量为m放在光滑水平桌面边上，有全长的1/4沿桌边下垂。如软绳从静止开始运动，求当它全部滑离桌面的瞬间获得的速度有多大？问题补充：

其实我想知道为什么以桌面为参考平面时重心下降5/8L？

Answer 1

如图：绳子全部滑离桌面的瞬间，相当于桌面上的绳子下落到图中的 BC 处，

BC 的重心为 O ，则 BO = 3L / 8 ，而 AB = L / 4 ，

所以，BC重心下降的高度 AO =  AB + BO = L / 4 + 3L / 8 = 5L / 8 ，

绳子减少的重力势能为 3m / 4·g ·5L / 8 = 15mgL / 32    （看成桌上的绳子下降到 BC 位置）

增加的动能为：1/2·m v² ，

由机械能守恒可知：增加的动能等于减少的重力势能，即：

1/2·m v² = 15mgL / 32    

解得：v = √15gL / 16

追问

那个，为什么绳子下降的时候那个1/4L的地方不下降呢？

追答

开始垂在桌子外面的那个 1/4L 也下落了（图中对应AC的最下面的 L /4 段）
只是，当绳子全部滑离桌面的瞬间（图中AC）
从重力势能的减少来看，相当于只是把桌面上的 3L /4的绳子下落到图中的BC位置一样。

Answer 2

以桌面为参考，开始时，绳的势能为－ (1/2 )×（1/4）×（1/4）mgl
全部离开的瞬间,绳的势能为－ (1/2 ）mgl,势能变化－ (1/2 ）mgl－（－ (1/2 )×（1/4）×（1/4）mgl）=－(15/32)mgl,此时速度Vo,得：(1/2 ）mVo²－(15/32)mgl=0，Vo=√15/16mgl

Answer 3

光滑只需考虑L/4部分，自由落体这，就5/8L了