Question

同步卫星离地心的距离为r,运行速度为v1,地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2

同步卫星离地心的距离为r,运行速度为v1,地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v1，地球半径为R，则下列式子正确的是
A.a1/a2=r/R B.a1/a2=(R/r)^2 C.v1/v2=r/R D.v1/v2=(R/r)^1/2
用a=w^2r能算出A来 但是用a=GM/r^2不就能算出B吗
用v=根号下GM/r能算出D来 但是用v=wr不就能算出C吗

这公式到底应该用哪个

Answer 1

首先，a1是同步卫星的加速度吧，第一宇宙速度为v2吧！如果是的话，那么分析如下：

a1是由地球与同步卫星之间的万有引力提供的，所以等于GM/r^2，。

a2是随地球自转物体的加速度，只是一部分地球与物体之间的万有引力提供的，等于（GM/R^2）-g。

二者的角速度相同，可以用a=w^2r推导。

（注意，这里的a2不等于g，也不等于万有引力的加速度，在赤道地面上的物体虽然在做圆周运动，但它的线速度很低，远小于第一宇宙速度，所以所需的向心加速度a远小于GM/R^2，他们的差值就是在赤道上的g，所以物体才会吸附在地面上。）

v2是第一宇宙速度，v2^2 /R=GM/R^2，它的角速度w2并不等于地球的自转角速度，而是远大于它。
v1为同步卫星的线速度，满足v1^2 /r=GM/r^2，并且它的角速度w1与地球相同。

可以看出w2远大于w1。所以不能用v=wr推导。

（所谓第一宇宙速度，即以这一速度和地球半径作圆周运动的物体，它所受的万有引力恰好等于它所需的向心力，地球上的物体大于这一速度时就会飞离地球不在落回地面。）

这类题的关键是仔细分析几种卫星和地面上物体的实际运动情况，仔细分析题中a1、a2、r、R、v1、v2、w代表的实际意义、大小，不要简单地套用公式。

Answer 2

设地球质量为m0，
同步卫星的质量为m1，
地球赤道上的物体的质量为m2，
地球表面附近的物体质量为m3，
对同步卫星有a1=ω^2r，
对赤道上的物体a2=ω^2R(ω为地球自转角速度)，
由以上二式得a1/a2=r/R ，所以A选项正确.

依牛顿第二定律，
对同步卫星有G(m0m1/r^2)=m1(v1^2/r),
对近地卫星有G(m0m3/R^2)=m0(v2^2/R),
所以v1/v2=根号（R/r)，D选项正确.

错解B的同学将地球赤道上的物体误认为是赤道上空的物体，把两个截然不同的情境混为一谈．其实只有当卫星的轨道近似等于地球半径时物体飘起来了，才有万有引力全部提供向心力．至于赤道上的物体所受万有引力，一部分提供物体随地球自转的向心力，一部分是物体的重力，只是用于提供向心力的那部分是很小的一部分；
错解C是把近地卫星与同步卫星的角速度等同了，实际上近地卫星的角速度，
依牛顿第二定律
G(m0m/R^2)=mω^2R，
ω近=根号(Gm0/R^3),
同步卫星的角速度ω同=根号(Gm0/r^3)，
显然ω近并不等于ω同.

因为近地卫星与同步卫星的角速度是不相同的
所以不能用v=wr