Question

如图，在△ABC中，∠A=α，三角形ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=∠β，探求α与β的关系

图为http://zhidao.baidu.com/question/247283748.html

Answer 1

图1：∠BCP=90+1/2α。图2：∠BCP=1/2α。图3：BCP=90-1/2α
过程：因为∠A=a,所以∠ABC+∠ACD=180-a，因为角平分线，所以∠PBC+∠ACD=（180-a）/2，所以∠BCP=90+1/2α。
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC= 1/2∠ABC，∠PCB= 1/2∠ACB，
因为∠A=a,所以∠ABC+∠ACD=180-a，所以∠PBC+∠PCB=（180+a）/2，所以∠BCP=90-
1/2α
根据三角形内角和为180°和角平分线定义

Answer 2

第一种情况：
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，∠A＝α，
∴α＋2∠PBC＋2∠PCB＝180°，∴α/2＋∠PBC＋∠PCB＝90°。
又∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°，而∠BPC＝β，∴β＋∠PBC＋∠PCB＝180°。
由α/2＋∠PBC＋∠PCB＝90°，β＋∠PBC＋∠PCB＝180°，得：β－α/2＝90°。

第二种情况：
在BC的延长线上任取一点D。
由三角形外角定理，有：∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠PCD＝∠P＋∠PBC，
而∠ACD＝2∠PCD，∴2∠P＋2∠PBC＝∠A＋∠ABC，又∠A＝α，∠P＝β，2∠PBC＝∠ABC
∴2β＝α。

第三种情况：
在AB的延长线上任取一点E，在AC的延长线上任取一点F。
∵∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，∴2∠P＋2∠PBC＋2∠PCB＝360°，
而∠CBE＝2∠PBC，∠BCF＝2∠PCB，∴2∠P＋∠CBE＋∠BCF＝360°，
又∠CBE＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，［三角形外角定理］
∴2∠P＋（∠A＋∠ACB）＋（∠A＋∠ABC）＝360°，
明显有：∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴2∠P＋∠A＋180°＝360°，
∴2∠P＋∠A＝180°，即：2β＋α＝180°。

Answer 3

图1：∠BCP=90+1/2α。图2：∠BCP=1/2α。图3：BCP=90-1/2α
过程：因为∠A=a,所以∠ABC+∠ACD=180-a，因为角平分线，所以∠PBC+∠ACD=（180-a）/∴∠BCP=90+1/2α。
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC= 1/2∠ABC，∠PCB= 1/2∠ACB，
∵∠A=a,
∴∠ABC+∠ACD=180-a，
∴∠PBC+∠PCB=（180+a）/2，
∴∠∠BCP=90-
1/2α