Question

已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得得弦长为2√2，则过圆心且与直线l垂

已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得得弦长为2√2，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为多少？

Answer 1

已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得得弦长为2√2，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为多少？
解：设圆C的圆心C的坐标为(a，0)，半径为R，则圆的方程为(x-a)²+y²=R²
(一)。当a>1(即圆心在直线L的右侧)时：
圆C过点A(1，0)，故得(1-a)²=R²，即R=︱1-a︱=a-1.
直线L：y=x-1过点A(1，0)，设直线与圆的另一交点为B；AB=2√2；过圆心C作CD⊥AB，D为垂足，则D平分AB，故AD=AB/2=√2；直线L的倾角为45⁰， ∴CD=AD=√2，AC=(√2)/cos45°=2，故a=OC=OA+AC=1+2=3，即圆心坐标为(3，0).
∴过圆心且与直线L垂直的直线方程y=-(x-3)=-x+3.
(二)。当a<1即圆心在直线L的左侧)时：
方法与上同，但得R=︱1-a︱=1-a=2，故a=-1，即圆心坐标为(-1，0).
∴过圆心(-1，0)且与直线L垂直的直线方程y=-(x+1)=-x-1.