Question

高等数学三重积分谢谢表面积

高等数学三重积分谢谢表面积表面积怎么求，谢谢

Answer 1

z = 6 - x^2 - y^2 , 表示顶点在(0, 0, 6), 开口向下的抛物面，
z = √(x^2+y^2), 即 x^2 + y^2 - z^2 = 0, 表示顶点在(0, 0, 0), 开口向上的圆锥面，
z = 6 - x^2 - y^2 与 z = √(x^2+y^2) 消去 z,
得交线在 xOy 坐标平面的投影 D : x^2+y^2 = 4 。
其围成的立体 下部是圆锥面，顶部是抛物面。
圆锥面，底面半径 r = 2, 母线 L = 2√2，面积是 S1 = πrL = 4π√2;
抛物面面积 S2 = ∫∫<D>√[1+(z'<x>)^2+(z'<y>)^2]dxdy
= ∫∫<D>√[1+4x^2+4y^2]dxdy = ∫<0, 2π>dt∫<0, 2> √(1+4r^2)rdr
= 2π(1/8)∫<0, 2> √(1+4r^2)rd(1+4r^2)
= (π/4)(2/3) [(1+4r^2)^(3/2)]<0, 2> = (π/6)(17√17-1)
则表面积 S = 4π√2 + (π/6)(17√17-1)

S =
∑1 ： 表示圆锥面 z = √(x^2+y^2),
∑2 ： 表示抛物面 z = 6 - x^2 - y^2，
其交线 x^2+y^2 = 4, z = 2