Question

一道初三的数学题目

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=S四边形CFGH/S四边形CMNO，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=1/3，Q为AE上一点且QF=2/3，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴m=S四边形CFGH／S四边形CMNO=1．

（3）∵CO=1，CE=1／3，QF=2／3，
∴EF=EO=1-1／3=2／3=QF，
∴cos∠FEC=1／2，
∴∠FEC=60°，
∴∠FEA=180°-60°／2=60°=∠OEA，
∠EAO=30°，
∴△EFQ为等边三角形，EQ=2／3．
作QI⊥EO于I，EI=1／2EQ=1／3，IQ=√3／2EQ=√3／3，
∴IO=2／3-1／3=1／3，
∴Q点坐标为(√3／3，1／3)．
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q(√3／3，1／3)，m=1，
∴b=-√3，c=1，
∴抛物线解析式为y=x2-√3x+1．

（4）AO=√3EO=2／3√3，
当x=2／3√3时，y=(2／3√3)²-√3×2／3√3+1=1／3＜AB，
∴P点坐标为(2√3／3，1／3)，
∴BP=1-1／3=2／3AO．
若△BPK与△AEF相似，
∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，RT=2√3／3×√3=2，
②当∠RTP=60°时，RT=2√3／3÷√3=2／3，
∴T1(0，7／3)，T2(0，-5／3)，T3(0，-1／3)，T4(0，1)．