Question

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解？

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解？如图中，在求图上形式的微分方程时，高等数学书上写的特解形式是Qm与Rm都是m次多项式，但我在推导时发现只要coswx前为l次多项式，sinwx项前为n次多项式就可以满足为方程的解，不知道这个结论对不对？还是高等数学书上为了简化，才写成m次多项式？望解答

Answer 1

设二阶微分方程x´´+ax´+bx=f(t)，非齐次项f(t)=p(t)e^(λt)，其中a、b为常数，p(t)为t的n次多项式。若λ为方程的k重特征根，则特解的形式为x(t)=t^(k)q(t)e^(λt)，其中q(t)为待定n次多项式，k=0,1,2。

Answer 2

对于线性常微分方程，每一个具体的解都是其特解。可以用眼睛看，也可以求。

Answer 3

Answer 4

两次用分部积分法,再解出.
∫e^t(sint)^2dt=e^t(sint)^2-∫e^tsin2tdt
∵∫e^tsin2tdt=e^tsin2t-2∫e^tcos2tdt
=e^tsin2t-2e^tcos2t-4∫e^tsin2tdt
∴5∫e^tsin2tdt=e^tsin2t-2e^tcos2t
∫e^tsin2tdt=1/5e^tsin2t-2/5e^tcos2t
∴ ∫e^t(sint)^2dt=e^t(sint)^2-1/5e^tsin2t+2/5e^tcos2t+C