Question

如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF。求证：EF∥平面BB'C'C

根据图中已做好的辅助线解题，

Answer 1

过点E作EG⊥BB'于G，过点F做FH⊥BC于H。

因为，∠AB'B = ∠DBC = 45° ，且 B'E = BF ，
所以，EG = B'E·sin45° = BF·sin45° = FH 。

因为，BC⊥平面ABB'A ，
所以，BC⊥EG ；
而且，EG⊥BB' ，
所以，EG⊥平面BB'C'C ；
同理可得：FH⊥平面BB'C'C ；
即有：EG和FH分别是点E和点F到平面BB'C'C的距离。

因为，点E和点F到平面BB'C'C的距离相等，且两点在平面的同一侧，
所以，EF∥平面BB'C'C 。

Answer 2

图中辅助线都做好了。做EH平行BB1交AB于H，连接FH。根据B1E=BF,可以证明FH⊥AB。
说明过FH和HE的这个平面M是垂直于AB的，又因为BCC1B1⊥与AB，EF又是这个平面M的一条线，所以EF∥平面BB1C1C

追问

怎么根据B1E=BF,证明FH⊥AB啊？你能解释解释吗

追答

做一条辅助线，EO⊥BB1，之前我们做的平行线EH∥BB1，EOBH是长方形，所以EO=BH，三角形EOB1是直角三角形，BF=B1E，BH=EO，∠EB1O=∠FBH,所以B1EO和BHF是全等三角形。∠FHB=90°

Answer 3

连AF延长交BC于M，连结B'M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴ AF/FM=DF/BF
又∵BD＝B'A，B'E＝BF
∴DF＝AE
∴ AF/FM=AE/B'E
∴EF∥B1M，B1M 平面BB'C'C

∴EF∥平面BB'C'C.