Question

设函数f(x)＝alnx－bx^2 内附问题， 数学帝速来，急！

（1）：当a＝2，b＝1/2时，求f(x)在[1/e，e]上的最大值 （2）：当b＝0时，若不等式f(x)大于等于m+x对所有的a属于[0，3/2]，x属于(1，e^2]都成立，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=2lnx-(1/2)x^2,x∈[1/e,e],
f'(x)=2/x-x=-(x-√2）（x+√2）/x,
1/e<=x<√2时f'(x)>0,f(x)↑；√2<x<e,f(x)↓。
∴f(x)|max=f(√2）=ln2-1.
(2)alnx>=m+x,对所有的a属于[0，3/2]都成立，化为
0>=m+x,且（3/2）lnx>=m+x,对所有的x∈（1，e^2]都成立，
∴m<=-e^2,且m<=(3/2)lnx-x,记为g(x).
g'(x)=(3/2)/x-1=-(x-3/2)/x,
1<x<3/2时g'(x)>0,g(x)↑；3/2<x<e^2时g(x)↓。g(1)=-1,g(e^2)=3-e^2.
∴m<=g(e^2)=3-e^2.
综上，m<=-e^2.

Answer 2

⑴定义域是x＞0
当a＝2，b＝1/2时,
f(x)＝2lnx－﹙1／2﹚x^2
∴f′﹙x﹚＝﹙2／x﹚－x
＝﹙2－x²﹚／x
由f′﹙x﹚＞0的 －√2＜x＜√2，∴递增区间是﹙0，√2﹚
由f′﹙x﹚＜0得x＜－√2或x＞√2 递减区间是﹙√2，＋∞﹚
∴f﹙x﹚在﹙1／e,√2﹚递增，在﹙√2，e﹚递减
∴最大值是f﹙√2﹚＝ln2－1

Answer 3

这么简单也问？写过程麻烦，可以说思路，想问就追问