Question

对任意实数x，若|x+1|-|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是？

Answer 1

解：
(1)当x<=-1时，原式=-(x+1)-[-(x-2)]=-x-1+x-2=-3
(2)当-1<x<2时，原式=(x+1)-[-(x-2)]=x+1+x-2=2x-1
x取-1，2x-1=2*(-1)-1=-3
x取2，2x-1=2*2-1=3
所以 -3<2x-1<3
(3)当x>=2时，原式=(x+1)-(x-2)=x+1-x+2=3
由上可知，当x取任意值时，原式>=-3
所以k<=-3。

Answer 2

题目中有两个绝对值|x+1|，|x-2|
分情况讨论
1）
当x<-1时
|x+1|-|x-2|
=-x-1+x-2
=-3

2）
当-1≤x≤2
|x+1|-|x-2|
=x+1+x-2
=2x-1
此时-3≤2x-1≤3

3）
当x>2
|x+1|-|x-2|
=x+1-x+2
=3

所以综上，x为实数时，|x+1|-|x-2|的范围为-3≤|x+1|-|x-2|≤3

因为|x+1|-|x-2|>k恒成立
所以k<-3

Answer 3

应该是

解：
(1)当x<=-1时，原式=-(x+1)-[-(x-2)]=-x-1+x-2=-3
(2)当-1<x<2时，原式=(x+1)-[-(x-2)]=x+1+x-2=2x-1
x取-1，2x-1=2*(-1)-1=-3
x取2，2x-1=2*2-1=3
所以 -3<2x-1<3
(3)当x>=2时，原式=(x+1)-(x-2)=x+1-x+2=3
由上可知，当x取任意值时，原式>=-3