Question

求幂级数 x^n /n的收敛区间,看图

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+1)/n=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。

又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1，即其收敛区间为，丨x丨<1【收敛域为,-1≤x<1】。

设S(x)=∑(x^n)/n，两边由S(x)对x求导，有S'(x)= ∑x^(n-1)。 当|x|<1时，S'(x)=1/(1-x)。

两边从0到x积分，∑(x^n)/n=S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-x)。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数

以上内容参考：百度百科-收敛

Answer 2

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+1)/n=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1，即其收敛区间为，丨x丨<1【收敛域为,-1≤x<1】。
设S(x)=∑(x^n)/n，两边由S(x)对x求导，有S'(x)= ∑x^(n-1)。 当|x|<1时，S'(x)=1/(1-x)。
两边从0到x积分，∑(x^n)/n=S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-x)。

供参考。