Question

一道简单的数学题求解~感激不尽呐，各位亲^-^，要快哦，很急…

已知数列{an}满足a1=2, a2=8,an+2=4an+1-4an. (1)证明:{an+1-2an}是等比数列。(2)设bn=an-1/n(n+1),(n>_2),求b2+b3+…+bn,(n>_2且nEN*)

Answer 1

(1)因为a(n+2)=4a(n+1)-4an，所以a(n+2)-2a(n+1)=2[a(n+1)-2an]。
即数列{a(n+1)-2an}是首项为a2-2a1=4、公比为2的等比数列。
(2)数列{a(n+1)-2an}的通项为：a(n+1)-2an=4*2^(n-1)，即a(n+1)=2an+2^(n+1)。
两边同除2^(n+1)：a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n。
所以，数列{an/2^n}是首项为an/2^n=a1/2=1的常数列，即an=2^n。
bn=2^n-1/[n(n+1)]=2^n-[1/n-1/(n+1)]。
b2+b3+…+bn=2^2+2^3+…+2^n-{(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+[1/n-1/(n+1)]}=2^(n+1)+1/(n+1)-9/2。

Answer 2

(1)因为a(n+2)=4a(n+1)-4an，所以a(n+2)-2a(n+1)=2[a(n+1)-2an]。
即数列{a(n+1)-2an}是首项为a2-2a1=4、公比为2的等比数列。
(2)数列{a(n+1)-2an}的通项为：a(n+1)-2an=4*2^(n-1)，即a(n+1)=2an+2^(n+1)。
两边同除2^(n+1)：a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n。
所以，数列{an/2^n}是首项为an/2^n=a1/2=1的常数列，即an=2^n。
bn=2^n-1/[n(n+1)]=2^n-[1/n-1/(n+1)]。
b2+b3+…+bn=2^2+2^3+…+2^n-{(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+[1/n-1/(n+1)]}=2^(n+1)+1/(n+1)-9/2。