Question

既然说了一个数列极限唯一，又何来上下极限之分？而且上下极限相等还是极限存在的充要条件呢？

既然说了一个数列极限唯一，又何来上下极限之分？而且上下极限相等还是极限存在的充要条件呢？如题，谢谢解答

Answer 1

我要讲的第一个问题是数列极限唯一性的理解。
你要注意，你所讲的数列极限的唯一性，指的是数列的有限极限的唯一性。

意思是若实数a，b同时为序列Xn的极限，它们相等。这一点，引文如下：
“整序变量Xn不能同时趋于两个相异的极限。”——《微积分学教程·第一卷·26 有关有极限的整序变量的一些定理》（菲赫金哥尔茨著，第8版译本）
对于更广泛的数列极限，即无穷极限，在这本书的下一讲，27讲中出现了无穷大量中提及，但是无穷大和无穷小是一样的，是在其变化过程中可以大于任何事先给定的正数的，更加明确了极限的唯一性是对有限极限的情况才成立的，符合于一般的逻辑推演顺序。
为什么容易有错误的认识，因为一般的高等数学只讲有限极限。
那么，我要讲的第二个问题是上下极限，首先必须提及其他的概念，叫做部分极限。
一般地，最常见的序列的自变量是自然序的（这里用一点代数的概念，这个和概念“逆序”相对，想了解一点可以去找找较高级的线代资料或者高代，都可以，此处不再涉及），若存在这样一组数n1，n2，...，nk，其为增大（注意，并不是“不减小的”）的，则由这组数构成下标的新数列xn1，xn2，...，xnk是与原来的数列具有相同的极限的，不论是有限还是无穷（相关的这定理叫做海涅定理，可以自己查一下，个人记得有的书上曾经提及这定理的名字），并且，“不论整序变量nk依怎样的规律趋向于﹢无穷，我们的命题（指上面所提的定理）仍未有效”（出自《微积分学教程·第一卷·40 部分数列及部分极限》，其余同上）。
下一节就是B-W引理（B.Bolzano-C.Weierstrass引理），“由任何有界数列内恒能选出收敛于有限极限的部分数列”，并给出了Bolzano方法，即不断等分区间，并选择有无穷元素的那一边重复，总可以找到这种数列，这也是图片上“聚点”的来由。
主要内容的最后说一下上下极限定理（个人习惯于如此称呼这个定理，但是证明过长，有接近整整3页，很可能引起不适，所以不贴图了），“整序变量恒有上下极限存在，且这两极限相等是整序变量有（普通意义下）存在的充要条件”（出自《微积分学教程·第一卷·42 上极限与下极限》，其余同上）。题主若是感兴趣，可以自己找找这本书，书上给的很明确，但是颇为费解，需要多多思考。
一点题外话，还有，题主是山大学生吗？看这本书的样子，似乎是吉米多维奇吧？有兴趣一同研讨数学的话，也可以私戳我哦。
最后，看我打了这么多字，可不可以多给点分数啊？谢谢！

Answer 2

不就类似于函数的左极限和右极限之分吗？
函数在任何点的极限也是唯一的，但是也可以分为左极限和右极限。左右极限不相等，不是说有两个极限，而是认为没有极限。这样就确保了极限的唯一性。
这里也是类似，下极限和上极限不相等，不认为是两个极限，而是认为没有极限。这样也就确保了极限的唯一性。

追问

我想问一下上下极限如何确定呢，

Answer 3

上下极限可以从子列这里考虑，一个是上确界，一个是下确界，因而数列极限存在的话就要上下极限存在且相等。

Answer 4

既然说了一个数列极限