Question

已知a,b是两个非零向量，夹角为θ，当向量a+tb的模取最小值时（1）求t的值（2）求b与a+tb的夹角

已知a,b是两个非零向量，夹角为θ，当向量a+tb的模取最小值时（1）求t的值（2）求b与a+tb的夹角

Answer 1

|a + tb|² = (a + tb)(a + tb)
= |a|² + t²|b|² + 2t(a • b)
= |a|² + t²|b|² + 2t * |a||b|cosθ
= |b|²t² + 2(|b|t)(|a|cosθ) + (|a|cosθ)² - (|a|cosθ)² + |a|²
= (|b|t + |a|cosθ)² + |a|²(1 - cos²θ)
= |b|²(t + |a|/|b| * cosθ)² + (|a|sinθ)²
当t = - |a|/|b| * cosθ = - (a • b)/|b|² 时取得最小值

由t = - (a • b)/|b|² 得 |b|² = - (a • b)/t，用以代入下面的算式
∵
b • (a + tb) = a • b + t|b|² = a • b + t * [- (a • b)/t] = a • b - a • b = 0
∴
b⊥(a + tb)，即b与a + tb之间的夹角为90°

Answer 2

（1）
|a+tb|²=a²+2a.tb+t²b²
=b²t²+2|a||b|cosθ t+a²
所以 当t=-|a||b|cosθ /b²时
|a+tb|²有最小值，
即|a+tb|有最小值

（2）此时， b.(a+tb)=a.b+tb²=a.b-|a||b|cosθ=0
所以 b⊥a+tb
所以b与a+tb的夹角是90°

Answer 3

|a+bt|最小，也就是 (a+bt)([a]+[b]t)最小，中括号表示共轭复数，乘开得到一个自变量为t的二次函数 |a|^2 + |b|^2t^2 + ([a]b+a[b])t
二次函数求最小值，这个大家都会了吧：

t = -([a]b+a[b])/(2|b|^2) 的时候最小

|a+bt|最小的时候，|a+bt|和b成90度夹角。

Answer 4

（a+tb）的模的平方=a的平方+(tb)的平方
所以t=0时a+tb的模最小
所以a+tb=a
所以b和a+tb的夹角是θ