Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC延长线上一点，PE⊥AB，垂足为E，PF⊥AC交AC的

如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC延长线上一点，PE⊥AB，垂足为E，PF⊥AC交AC的延长线于点F，BD⊥AC,垂足为D。求证∶BD＋PF＝PE

Answer 1

证明：过点C作CM⊥AB于B，CN⊥PE于N
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵BD⊥AC，CM⊥AB
∴∠BDC＝∠CMB＝90
∵BC＝BC
∴△BDC全等于△CMB
∴BD＝CM，∠DBC＝∠MCB
∵PE⊥AB，CN⊥PE
∴矩形CNEM
∴EN＝CM，CM∥PE
∴EN＝BD，∠EPB＝∠MCB
∴∠EPB＝∠DBC
∵PF⊥AC
∴PF∥BD
∴∠FPC＝∠DBC
∴∠FPC＝∠EPB
∵PC＝PC
∴△FPC全等于△NPC
∴PN＝PF
∵PE＝EN+PN
∴PE＝BD+PF

Answer 2

PE=BD+PF设CG垂直AB于G CG=BD
由相似三角形可
得CG/PE=BC/BPBD/PF=BC/PC
联合解得PE=PF+BD
证明，用等面积法。考虑三角形PBA的面积
则S=BA*PE*1/2
而S=Sabc+Sacp=1/2(AC*BD+PF*AC)=1/2*BA*(BD+PF)=1/2*BA*PE
得证

Answer 3

过点P作BD的垂线，垂足为Q
首先证明四边形PQDF是长方形，可行PF=DQ
接下来去证明PE=BQ即可
那只需要证明直角三角形BPQ全等于直角三角形PBE
（这两个三角形有公共边BP，直角，角ABC=角ACB=角QPB）
呵呵，这样说明白的吧，谢谢！