Question

数学分析一道题求解

证明方程x^3+px+q=0(q>0)有且只有一个实根.用极限与函数连续性。
对不起，是（p>0).

Answer 1

你的题目出错了，例如x^3-18x+1=0，记f(x)=x^3-18x+1求导得g（x)=3x^2-18,令3x^2-18＝0，解得驻点为3和-3，由于f(3)=-26,f(-3)=28,由于f(x)的连续性，运用零点定理，在（-3，3）至少有一点使f(x)=0；由于f(3)=-26,f(5)=36,由于f(x)的连续性，运用零点定理，在（3，5）至少有一点使f(x)=0；由于f(-5)=-34,f(-3)=28,由于f(x)的连续性，运用零点定理，在（-3，3）至少有一点使f(x)=0；
这样就至少找出了3个点了。（由高等代数的知识知道，也只有这3个点。）

如果改为p>0,则可以了：
记f(x)=x^3+px+q，设x1<x2，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2+p)<0.
所以f(x)为严格增加的函数。
又因为f(x)->+∞(x->+∞时），f(x)->-∞(x->-∞时），因为f(x)连续，由零点定理，存在一点使f(x)=0.
综合以上两个方面，命题得证。

Answer 2

这个。。。忘记怎么做了，不过一般的数分书上都会有这类型的例题的吧。。