Question

几何求解问题

Answer 1

［略解］
设BE＝CF＝IJ＝GH＝z、EI＝DG＝x、EJ＝DH＝y。
过H作HL⊥AB交AB于L。
∵GI＝HJ、GJ＝HL＝1、∠GJI＝∠HLJ＝90°，∴△GIJ≌△HJL，∴IJ＝JL＝z。
又JL＝AB－BE－EJ－AL＝1－z－y－DH，∴z＝1－z－y－y，∴z＝1/2－y。
由勾股定理，有：
z^2＝x^2＋y^2，∴（1/2－y）^2＝x^2＋y^2，∴1/4－y＋y^2＝x^2＋y^2，∴y＝1/4－x^2。
∴z＝1/2－（1/4－x^2）＝1/4＋x^2，∴2z＝1/2＋2x^2。
再由勾股定理，有：
HI^2＋IJ^2＝HJ^2＝GI^2＝（FI－DG）^2＋AE^2＝（EF－EI－DG）^2＋（AB－BE）^2，
∴1＋z^2＝（1－x－x）^2＋（1－z）^2＝（1－2x）^2＋1－2z＋z^2，
∴2z＝（1－2z）^2，而2z＝1/2＋2x^2，∴（1－2x）^2＝1/2＋2x^2，
∴1－4x＋4x^2＝1/2＋2x^2，∴2x^2－4x＋2＝1＋1/2＝3/2，∴（1－x）^2＝3/4，
∴1－x＝√3/2，∴x＝1－√3/2，
∴z＝1/4＋x^2＝1/4＋（1－√3/2）^2＝1/4＋1－√3＋3/4＝2－√3。
∴BE＝2－√3。

Answer 2