Question

常数变易法的原因

Answer 1

常数变易法的本质在于非齐次一阶方程dy/dx=p(x)y+q(x)和齐次方程dy/dx=p(x)y解的表达式中有公共因子exp{∫p(x)dx}。我们可以用积分因子法解非齐次一阶方程，注意到[p(x)y+q(x)]dx+dy=0有一个积分因子：
exp{-∫p(x)dx}，乘上该积分因子后{[p(x)y+q(x)]dx+dy}*exp{-∫p(x)dx}=0，两边积分即可得到该方程的解。而常数变易法实际上是一种从结果推过程的一种方法，只是在很特殊的情况下方可应用。如果非齐次一阶方程dy/dx=p(x)y+q(x)和齐次方程dy/dx=p(x)y的解不具有公共因子exp{∫p(x)dx}，则不能使用常数变易法。

Answer 2

对于一阶线性微分方程
y'+Py=Q以前我一直在考虑常数变易法的实质是什么，我觉它就是个特殊的变量代换法。在解齐次方程时用y=ux代换，而这里是y=ue^;一般地代换y=uv，v为x的确定函数。u是x的未知函数，那么u乘以v可以表示任意的x的函数。这是我想到的变量代换的理由。选一个适当的v，就能使方程化成变量可分离的。这个e^是怎么选定的，反向过了看，把e^带入后，得到y'e^-uPe^+uPe^=Q，刚好后两项相互抵消，就可分离了变量了。也就是说当时人们想找一个能使后两项和为零的v,其实这个问题就是解y'+Py=0,刚好就是求对应的齐次方程的解。常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程．