Question

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已知等差数列{An}及关于x的方程Aix^2+(2Ai+1x)+(Ai+2)=0(i=1,2,.....,n属于正整数集合)。其中A1及公差d均为非零实数。
已关闭 [ 标签： 等差数列 ,a1公差 , 实数 ] 匿名 2011-03-27 14:17
1）求证：这方程有公共根；
（2）若方程的一根为Xi，求证：1/（X1+1）,1/(X2+1),......,1/(Xn+1)依次成等差数列。

Answer 1

Ai+1=Ai+d
Ai+2=Ai+2d
原方程等价于AiX^2+2(Ai+d)X+Ai+2d=0,
即AiX^2+2AiX+Ai+2dX+2d=0, Ai(X+1)^2+2d(X+1)=0,
(AiX+Ai+2d)(x+1)=0.
方程的根x=-1或x=-(Ai+2d)/Ai
使用这方程的公共根为x=-1

(2)
证明：∵{an}为等差数列公差d≠0，an≠0
∴2a(n+1)=an+a(n+2)
∴方程anx2+(an+a(n+2))x+a(n+2)=0的二个不同的根分别为：
X1=-an-a(n+2)-an+a(n+2))/(2an)=-1，x2=-2a(n+2)/(2an)= -a(n+2)/an
当方程系数为a1,a2,a3时，x1=-a3/a1
当方程系数为a2,a3,a4时，x2=-a4/a2
当方程系数为a3,a4,a5时，x3=-a5/a3
当方程系数为a4,a5,a6时，x4=-a6/a4
……
当方程系数为an,a(n+1),a(n+2)时，xn=-a(n+2)/an
Bn=1/(xn+1)=1/(1-a(n+2)/an)=an/(an-a(n+2))= -an/(2d)
B(n-1)=a(n-1)/(a(n-1)-a(n+1))= -a(n-1)/(2d)
B(n+1)=a(n+1)/(a(n+1)-a(n+3)) = -a(n+1)/(2d)
B(n+1)-bn= -a(n+1)/(2d)+an/(2d)=-1/2
Bn-b(n-1)= -an/(2d)+ a(n-1)/(2d)=-1/2
即数列{bn}前后项之差为常数
∴数列{bn}为等差数列。