设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值
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解：由f(x)=sinx-cosx+x+1
得：f'(x)=cosx+sinx+1
=√2(sinπ/4cosx+cosπ/4sinx)+1
=√2sin(x+π/4)+1
令f‘(x)<0得：
√2sin(x+π/4)+1<0
sin(x+π/4)<-√2/2
kπ-3π/4<x+π/4<kπ-π/4
则2kπ-π<x<2kπ-π/2 (k∈Z）
又0<x＜2π
所以当π<x<3π/2时，f’(x)<0,f（x）为单调递减
同理得：当0<x<π或3π/2<x<2π时，f’(x)>0,f（x）为单调递增
即f(x)单调增区间（0，π），（3π/2，2π）
单调减区间（π，3π/2 ）
由单调性可得：f极大值=f(π)=2+π
f极小值=f(3π/2)=3π/2
得：f'(x)=cosx+sinx+1
=√2(sinπ/4cosx+cosπ/4sinx)+1
=√2sin(x+π/4)+1
令f‘(x)<0得：
√2sin(x+π/4)+1<0
sin(x+π/4)<-√2/2
kπ-3π/4<x+π/4<kπ-π/4
则2kπ-π<x<2kπ-π/2 (k∈Z）
又0<x＜2π
所以当π<x<3π/2时，f’(x)<0,f（x）为单调递减
同理得：当0<x<π或3π/2<x<2π时，f’(x)>0,f（x）为单调递增
即f(x)单调增区间（0，π），（3π/2，2π）
单调减区间（π，3π/2 ）
由单调性可得：f极大值=f(π)=2+π
f极小值=f(3π/2)=3π/2
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