高等数学的一道题，谢谢啦～
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补充平面 ∑1 : z = 1， x^2+y^2 ≤ 1, 取 下侧； ∑2 : z = 2， x^2+y^2 ≤ 4, 取 上侧， 则
I = ∯ <∑+∑1+∑2> + ∫∫<x^2+y^2 ≤ 1> - ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>,
前者用高斯公式，后两项 dz = 0，
I = ∫∫∫<Ω>2zdxdydz + ∫∫<x^2+y^2 ≤ 1>(x^2+y^2)dxdy
- ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>>(x^2+y^2)dxdy
= ∫<1, 2>2zdz∫<0, 2π>dt∫<0, z>rdr + ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>r^2 rdr
- ∫<0, 2π>dt∫<0, 2>r^2 rdr
= 2π∫<1, 2>z^3dz + π/2 - 8π = 0
I = ∯ <∑+∑1+∑2> + ∫∫<x^2+y^2 ≤ 1> - ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>,
前者用高斯公式，后两项 dz = 0，
I = ∫∫∫<Ω>2zdxdydz + ∫∫<x^2+y^2 ≤ 1>(x^2+y^2)dxdy
- ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>>(x^2+y^2)dxdy
= ∫<1, 2>2zdz∫<0, 2π>dt∫<0, z>rdr + ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>r^2 rdr
- ∫<0, 2π>dt∫<0, 2>r^2 rdr
= 2π∫<1, 2>z^3dz + π/2 - 8π = 0
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