Question

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点为O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别于线段AB,AD交于M,N(不

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点为O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别于线段AB,AD交于M,N(不与点B,A,D重合）。设DN=X，四边形AMPN的面积为y。在下面情况下y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式。
（1）点p与点o重合
（2）点P在正方形对角线AC上,且AP=2PC
（3）点P在正方形对角线BD上，且DP=2PB

Answer 1

解：（1）当x变化时，y不变．
如图1，y=S四边形AMON=S正方形AFOE=94．（3分）

（2）当x变化时，y不变．
如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F．（4分）
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四边形AFPE是正方形．（5分）
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴PECD=APAC．
∵AP=2PC，CD=3，
∴PE3=23．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM．（6分）
∴y=S四边形AMON=S正方形AFOE=4．（7分）

（3）x变化，y变化．
作PE⊥AD，PF⊥AB，
可证△MFP∽△NEP，
∴PEPF=ENMF，
∵点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB，
∴PFAD=13，
∴PF=1，EP=2，
∵DN=x，EN=2-x，
∴MF=1-x2，
∴AM=1+x2，
∴y=S四边形AMPN=S梯形AEPM+S△PEN=12×（2+1+x2）×1+12×2×（2-x）=-34x+72，0＜x＜3．（10分）