Question

在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC．

在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC．
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Answer 1

（图画的不好，别见怪）因为P为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，所以p为△ABC内接圆的圆心，令内接圆的半径为r，根据内接圆的性质，∠2=40°，所以

AB=BE+AE=r/tan30°+r/tan40°，

PC=r/sin20°，

要证AB=PC，即要证r/tan30° + r/tan40° = r/sin20°, 即要使

1/tan30° + 1/tan40° =cos30°/sin30° + cos40°/sin40°，

通分后可得：sin(30° + 40°）/(sin30° sin40°），

sin70°=cos20°，sin40°=2 sin20° cos20°，sin30°=1/2,

化简可得：sin70°/（sin30° sin40°）=1/sin20°，

所以r/tan30°+r/tan40°=r/sin20°，

所以AB=PC得证