Question

已知函数f(x)=x2+x-ln(x+a)+3b在x-0处取得极值0。

1.求实数a，b的值；
2.若关于x的方程f（x）=5/2x+m在区间【0,2】上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
3.证明：对任意的正整数n>1，不等式1+1/2+1/3+…+1/n-1 >ln n+1/2都成立
急

Answer 1

1. f'(x)=2x+1-1/(x+a)，f(0)=0=-lna+3b, f'(0)=0=1-1/a
所以a=1,b=0
2.f(x)=x^2+x-ln(x+1)
f(x)=5/2x+m ==>x^2+x-ln(x+1)-5/2x+m=0
设g(x)=x^2+x-ln(x+1)-5/2x+m，则g(x)在[0.2]上恰有两个不同的实数根
g'(x)=2x-1/(x+1)-3/2=（4x+5）(x-1)/[2(x+1)]
当x∈[0，1)时，g'（x）<0，于是g（x）在[0，1]上单调递减；
当x∈（1，2]时，g'（x）>0，于是g（x）在[1，2]上单调递增；
依题意有g(0)>=0,g(1)<0，g(2)>=0 ==>ln3-1<=m<1/2-ln2
3.f（x）的定义域为{x|x＞-1}．
f'(x)=x(2x+3)/(x+1)
令f'(x)=0解得x=0或-3/2（舍去）
∴当-1＜x＜0时，f'（x）<0，f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）>0，f（x）单调递增．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最小值．
∴f（x）>=f（0），
故x^2+x-ln(x+1)>=0(x=0时取等号)
==>对于任意正整数n,取x=1/n>0，则1/n^2+1/n-ln(1/n+1)>0
ln[(n+1)/n] <(n+1)/n^2<(n+1)/(n^2-1)=1/(n-1)
∴ln3/2<1
ln4/3<1/2
ln5/4<1/3
.....
ln[(n+1)/n]<1/(n-1)
上式一次累加即证

Answer 2

f(x)'=2x+1-1/(x+a)=0
x=0
2*0+1-1/a=0
a=1
f(x)=x^2+x-ln(x+1)+3b
f(0)=0+0-0+3b=0
b=0
f(x)=x^2+x-ln(x+1)=5/2x+m
x^2-1.5x-ln(x+1)-m=0
定t(x)=x^2-1.5x-ln(x+1)-m
t'=2x-1.5-1/(x+1)

Answer 3

1，导啊。f'(x)=2x+1-1/(x+a)，f(0)=0，f'(0)=0，解方程组。
2，求出f(x)，得出f(x)-5/2x在[0,2]上的单调性，秒。
3，用上题的提示放缩，你懂得。

Answer 4

f'(x)=2x+1-1/(x+a)，f(0)=0，f'(0)=0解方程求出f(x)，得出f(x)-5/2x在[0,2]上的单调性

Answer 5

见图