Question

用微积分求f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)的最大值和最小值

Answer 1

f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)
f'(x)=cosx/(cosx+2)+sinx(sinx+1)/(cosx+2)^2
=(cosx^2+2cosx+sinx^2+sinx)/(cosx+2)^2
=(1+2cosx+sinx)/(cosx+2)^2
1+2cosx+sinx=0时，f'(x)=0
1+sinx=-2cosx
1+2sinx+sinx^2=4cosx^2=4-4sinx^2
5sinx^2+2sinx-3=0
(5sinx-1)(sinx+1)=0
sinx=-1 或 sinx=1/5
cosx=0 cosx=-3/5
f(x)=0 f(x)=(6/5)/(2-3/5)=6/7
最大=6/7 最小=0

追问

用数形结合最大值貌似不是这个答案，你看下

追答

谢谢提醒，已找到错误，修正如下：
5sinx^2+2sinx-3=0

(5sinx-3)(sinx+1)=0

sinx=-1 或 sinx=3/5
cosx=0 cosx=-4/5
f(x)=0 f(x)=(3/5+1)/(2-4/5)=(8/5)/(6/5)
最大=4/3 最小=0

追问

1+sinx=-2cosx到
1+2sinx+sinx^2=4cosx^2=4-4sinx^2
这步的基本思路是什么？如果是我，我就会直接辅助角公式算出来只有-pie/2

追答

这步主要是出于 -2cosx 可能有2解的考虑，
分别对应 最大、最小值
因此左右平方得到2次三角函数方程，就OK了

Answer 2

f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)
f‘(x)=cosx/(cosx+2)+sinx(sinx+1)/(cosx+2)²
=(cos²x+cosx+sin²x+sinx)/(cosx+2)²
=(sinx+cosx)/(cosx+2)²
要使函数取得极值，必须f’(x)=0
则：sinx+cosx=0
tanx=-1
则x=kπ-π/4；k∈Z
则：
k=奇数时；cosx=-√2/2；sinx=√2/2；f(x)=(2+√2)/(4-√2)，是最大值
k=偶数时，cosx=√2/2；sinx=-√2/2；f(x)=(2-√2)/(4+√2)，是最小值