Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC,△ABC是边长为2的正三角形，点P在A1B上，

且AB⊥CP。
证明 1.P为A1B中点。
2.若A1B⊥AC1，求三棱锥P-A1AC的体积。

Answer 1

1. 取AB中点M，连接CM，PM
AB⊥CP
AB⊥CM
AB⊥平面CPM
AB⊥PM
PM//AA1, M为AB中点 所以P为A1B中点
2. 取A1B1中点N，连接AN,C1N
A1B⊥AC1
C1N⊥A1B
A1B⊥平面AC1N
A1B⊥AN △NA1A与△A1AB相似
AB=2 AA1=√2
点P到平面A1AC的距离d等于点B到平面A1AC的距离的一半
d=√3
SA1AC=1/2*2*√2=√2
VP-A1AC=1/3*d*S=√6/3

Answer 2

1. 取AB中点M，连接CM，PM
AB⊥CP
AB⊥CM
AB⊥平面CPM
AB⊥PM
PM//AA1, M为AB中点 所以P为A1B中点
2. 取A1B1中点N，连接AN,C1N
A1B⊥AC1
C1N⊥A1B
A1B⊥平面AC1N
A1B⊥AN △NA1A与△A1AB相似
AB=2 AA1=√2
点P到平面A1AC的距离d等于点B到平面A1AC的距离的一半
d=√3
SA1AC=1/2*2*√2=√2
VP-A1AC=1/3*d*S=√6/3