Question

微分中值定理的应用

微分中值定理的应用这个问题好似得请数学和物理方面的大神们解答。我在做微积分题时发现了一个问题，微分中值定理到底该如何运用？或者说，使用微分中值定理，求出函数在可导开区间中的一个点符合函数在开区间两个端点处的线性加减运算后的值，这个值有什么作用？

Answer 1

（一）对于不等式与等式证明中的应用
中值定理在一些等式的证明中,我们往往容易思维定式,只是对于原来的式子要从哪去证明,很不容易去联系其它,只从式子本身所表达的意思去证明.已知有这样一个推论,若函数
在区间I上可导,且
中值定理
,则为I上的一个常量函数.它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线.这个推论的证明应用拉格朗日中值定理.
（二）关于方程根的讨论（存在性与根的个数）（三）在洛比达法则中证明的应用
无穷小（大）量阶的比较时,看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在,也可能不存在.如果存在,其极限值也不尽相同.称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为 型或 型不定式极限.解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则.这是法则的内容,而在计算时往往都是直接的应用结论,没有注意到定理本身的证明,而这个定理的证明也应用到了中值定理.
中值定理（四）定理之间的关系应用
在一元函数微分学中,微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具,它在数学分析中占有重要的地位,其中拉格朗日中值定理是核心,罗尔定理是其特殊情况,柯西定理是起推广.拉格朗日微分中值定理有许多推广,这些推广有一些基本的特点,这就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分中值表达公式.微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地,在以后的学习中还会有其他的应用,再做更为全面的总结

Answer 2

答：因为lim(x→0)
(K1*x^4+K2*x^5)/x^3=lim(x→0)
[k1*x+K2*x^2]
=0，
所以K1*x^4+K2*x^5是x^3的高阶无穷小量，（注：其中K1、K2为任意实数）
所以x^4与x^5都归并到o(x^3)里面去了。
无穷小有一个性质：o(x^3)+o(x^3)=o(x^3)

Answer 3

四大微分中值定理应用区别很明显，看图