Question

线性代数：证明两个向量组等价，用什么方法

Answer 1

证明两个向量组等价，可以通过证明三秩相等的方法。具体如下：

设向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn；

欲证明向量组A与向量组B等价，只需证明rank（A）=rank（B）=rank（A，B）；

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵，rank（A）表示矩阵A的秩，rank（B）表示矩阵B的秩，rank（A，B）表示增广矩阵（A，B）的秩。

另外，通过证明两个向量组可以互相线性表示，也可证明这两个向量组等价。或者通过证明向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

扩展资料：

等价向量组的性质：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样；

2、任一向量组和它的极大无关组等价；

3、向量组的任意两个极大无关组等价；

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同；

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价；

参考 资料来源：百度百科-等价向量组

Answer 2

两个向量组能够相互表示。表示则等价。

因为向量组可以组成矩阵，反过来矩阵又存在行向量组和列向量组，所以可以利用矩阵的等价来定义向量组的等价（只要把两个向量组都做成矩阵即可）。一般定义向量组的等价，是用另外一个说法，就是“相互线性表示”。

向量组a：a1，a2，...，am与向量组b：b1，b2，...，bk等价：向量组a中的每一个向量都可以由向量组b线性表示；向量组b中的每一个向量也可由向量组a线性表示。一般不讨论两个向量的等价，如果按照定义来理解的话，就是两个向量的元素对应成比例。

基本定义

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）

或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

以上内容参考：百度百科-等价向量组

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：
R（A）=R（B）=R(A，B)。
等价表示二者可以通过基本初等变换（行或列）能够相互转化。

Answer 5