Question

数学中的重根是什么？

Answer 1

在数学中，重根是指一个多项式方程在解的集合中，某个根出现了多次。当一个多项式方程中的一个根重复出现时，这个根就被称为重根。

更具体地说，对于一个 n 次多项式方程，如果某个复数根 r 出现了 k 次 (k ≥ 2)，那么我们称 r 是方程的一个 k 重根。这意味着在多项式方程的因式分解中，可以将多项式写成 (x - r)^k 的形式，其中 x - r 是一个一次因子，而 k 表示其重数。

举个例子，考虑多项式方程 f(x) = (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3)^3。在这个方程中，根 1 出现了两次，根 -2 和根 3 分别出现了一次和三次。所以，根 1 是二重根，根 -2 是一重根，根 3 是三重根。

重根在代数学、微积分和方程求解等领域中具有重要的作用，并且在多项式的因式分解、曲线的切线与极值等问题中经常涉及到重根的概念。

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数学中的重根的计算方法

计算一个多项式方程的根以及它们的重数通常需要使用代数学知识和相关的数值计算方法。下面是一些常见的计算重根的方法：

1. 代数方法：对于一个高次多项式，可以使用代数方法来计算其根的重数。首先，求出多项式的根，并将其进行因式分解。然后，通过观察因式分解中每个因子的幂次，确定根的重数。例如，若一个根在因式分解中出现了两次，则说明它是一个二重根。

2. 导数方法：使用微积分中的导数概念可以帮助计算多项式函数的重根。对于一个多项式函数 f(x)，计算其导数 f'(x)。如果某个根 r 是 f(x) 和 f'(x) 的公共根，那么它就是一个重根。继续计算 f'(x) 的根，重复这个过程直到找到所有的重根。

3. 数值方法：如果你只关心多项式方程的数值解而不需要精确的符号表示，可以使用数值计算方法来估计根和根的重数。例如，使用数值计算软件或算法（如牛顿迭代法、二分法等）可以逼近多项式的根，并通过观察根的邻域来判断重数。

计算重根可能需要一定的数学背景和计算工具的支持。对于复杂的多项式方程，计算重根可能非常困难甚至不可行。在实际应用中，通常使用计算机代数系统或数值计算软件来求解多项式方程的根和重根。

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当涉及到计算重根时，我们可以考虑以下例题：

例题：计算多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根以及它们的重数。

解法：

为了计算多项式方程的根和重数，我们可以使用因式分解和导数方法。

1. 因式分解：

首先，我们可以尝试对多项式进行因式分解，看看根的重数。

f(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 2 + i)(x - 2 - i)

从因式分解可知，多项式的根包括两个重根 r = 1 和两个互为共轭复数的根 r = 2 ± i。其中，根 r = 1 是一个二重根，而根 r = 2 ± i 是单重根。

2. 导数方法：

我们还可以计算多项式 f(x) 的导数 f'(x)，然后找到公共根来确定重根。

f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12

计算 f'(x) 的根，我们发现只有一个公共根 x = 1。这意味着根 x = 1 是方程 f(x) 和 f'(x) 的公共根，因此，它的重数是至少二重。

综上所述，多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根及其重数为：

- 根 r = 1 是一个二重根。

- 根 r = 2 是一个单重根。

- 根 r = 2 ± i 是两个单重根。

这个例题展示了如何通过因式分解和导数方法来计算多项式方程的根以及它们的重数。

Answer 2

数学中的重根是指对代数方程（多项式方程），方程f(x) = 0有根x = a，则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法，P(x) = f(x) / (x-a)，结果仍是多项式。若P(x) = 0仍以x = a为根，则x= a是方程的重根。或令f(x)为f(x)的导数，若f′(x) = 0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。

扩展资料

多项式重根有以下性质：

①多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1。

②当且仅当多项式与它的导数的最高公因式是零次多项式时，多项式才没有重根。

判断方程x³+3x²-9x+5=0有没有重根。解设f（x）=x³+3x²-9x+5，则f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1)，即x=1和x=-3是f′（x）的根。

先将这两根分别代入f（x），由于x=1是f（x）=0的根，所以x=1是多项式f（x）与它的导数f′（x）的公根，它就是f（x）重根；而x=-3不是。

参考资料：百度百科-重根

Answer 3

所谓方程的根是使方程左、右两边相等的未知数的取值。一元二次方程根和解不同，根可以是重根，而解一定是不同的，一元二次方程如果有2个不同根，又称有2个不同解。

所谓方程的解、方程的根都是使方程左、右两边相等的未知数的取值。

平方根，又叫二次方根，对于非负实数来说，是指某个自乘结果等于的实数，表示为〔√￣〕，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根。

0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。 例：9的平方根是±3 注：有时我们说的平方根指算术平方根。

扩展资料

分类：

1、重根

在一元方程中方程的解可能会受到某些实际条件的限制，如：一道关于每天生产多少零件的应用题的函数符合x^2-10x-24=0 此方程的根：x=12，x2=-2。

虽然x=-2符合方程的根的条件，但由于考虑到实际应用，零件生产不可能是负数，所以，此时x2=-2就不是这个问题的解了，只能说是方程的根。

2、无根

一元高次方程的情况是一样的，如：方程x^3=1有1个实根和2个虚根，有时，方程根和解不作区别，方程无解又称无根。

3、增根

解分式方程、无理方程、对数方程时，需要化为整式方程，有时会产生增根，即使原方程无意义的未知数取值，此时该值便不是原方程的解。

4、不存在根

而对于多元方程来说，方程的解就不能说成是方程的根。这时解与根是有区别的。因为这样的方程是不存在根的概念的。

参考资料来源：百度百科-根 （数学代数学中的术语）

Answer 4

在数学中，重根是指多项式方程中某个根多次出现的情况。也可以说，如果一个方程的根重复出现多次，那么这个根就是重根。
举个例子，考虑一个二次方程(x - a)² = 0，其中a是常数。这个方程的根是x = a。在这个方程中，根a是以重根的形式出现的，因为它重复出现了两次。
相比之下，如果一个方程的根只出现一次，那么该根被称为单根。
重根具有特殊的性质，它们在方程的解析和图像上有重要的意义。在代数学和微积分中，我们经常需要考虑重根的情况，并使用相关的技巧和方法来处理它们。

Answer 5

对代数方程，即多项式方程，方程f(x) = 0有根x = a则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法P(x) = f(x) /
(x-a)结果仍是多项式。若P(x) = 0仍以x = a为根，则x= a是方程的重根。或令f1(x)为f(x)的导数，若f1(x) =
0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。
举个栗子:f(x)=(x-1)(x-2)^2*(x-3)^4,我们说f(x)有1的1次重根,2的2次重根,3的4次重根