Question

求大神解答高二数学

Answer 1

已知函数f(x)=2lnx-x； (1).求f(x)的单调区间；(2). 若对任意x∈(0，+∞)不等式 f(x)≦ax≦x²+1
恒成立。求a的取值范围；
解：(1). ∵ f'(x)=(2/x)-1=(2-x)/x=-(x-2)/x；
故当x<0或x≧2时f'(x)≦0，∴ f(x)在区间(-∞，0)∪[2，+∞)内单调减；
当0<x≦2时f'(x)≧0，∴ f(x)在(0，2]内单调增。
(2). ∵x∈(0，+∞)，∴ 可用x除不等式两边得：f(x)/x≦a≦(x²+1)/x;
设φ(x)=f(x)/x=(2lnx-x)/x；令φ'(x)=[(2-x)-(2lnx-x)]/x²=-2(lnx-1)/x²=0
得唯一驻点x=e；当x<e时φ'(x)>0；当x>e时φ'(x)<0；故x=e是其极大点；
极大值φ(x)=φ(e)=(2-e)/e=(2/e)-1;
再设g(x)=(x²+1)/x=x+(1/x)≧2；当x=1/x，即x²=1，x=1时g(x)获得最小值2;
∴要使不等式f(x)≦ax≦x²+1在区间(0，+∞)内恒成立。应使: (2/e)-1≦a≦2;
这也就是a的取值范围。【大于左边的最大值，且小于右边的最小值】

追问

谢谢你