Question

坐标系中,已知点A(4,0),B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下作ABC，∠ACB=90度，OC的最小值为

等腰直角三角形ABC，连接OC，

Answer 1

设B(b,2),C(x,y),由AC⊥BC,AC=BC得
(x-4)(x-b)+y(y-2)=0,
b=x+y(y-2)/(x-4),①
(x-4)^2+y^2=(x-b)^2+(y-2)^2,②
由②，(b-4)(2x-4-b)=-2(2y-2),③
把①代入③得[x-4+y(y-2)/(x-4)][2x-4-x-y(y-2)/(x-4)=-4y+4,
(x-4)^4-y^2(y-2)^2=(x-4)^2(-4y+4),
[(x-4)^2+y^2][(x-4)^2-(y-2)^2]=0,
∴(x-4)^2+y^2=0或(x-4)^2-(y-2)^2=0，
∴x=4,y=0或x-4=土(y-2),
∴OC^2=x^2+y^2=[4土(y-2)]^2+y^2
=16土8(y-2)+(y-2)^2+y^2
=2y^2+4y+4或2y^2-12y+36(y<2),
y=-1时它取最小值2，
∴OC的最小值是√2.