Question

线性代数的问题

线性代数的问题线性相关的一个向量组中每一个向量都可以被其他的向量线性表出？

Answer 1

比如对于向量组a1,a2,a3……an,线性相关的话
也就是存在不全为0的一组系数k1,k2,k3……kn
使得k1*a1+k2*a2+……+kn*an=0
∴设aj为其中任意一个向量,则kj*aj=-k1*a1-k2*a2-……-k(j-1)*a(j-1)-k(j+1)*a(j+1)-……-kn*an
∴如果系数kj不为零的话aj可以有其余向量表示即aj=[-k1*a1-k2*a2-……-k(j-1)*a(j-1)-k(j+1)*a(j+1)-……-kn*an]/kj
而如果kj=0,由于0不能做分母,所以aj就不能有其余向量表示
∴若向量组线性相关,那么其中的任意一个向量都能用其余向量线性表示,这句话是错误的
再问： 如果向量组中的任意一个向量都不能有其余的向量线性表示，那么这个向量组线性无关。（该命题正确），上述命题的逆否命题该怎么描述？
再答： 如果一个向量组线性相关，则该向量组中存在可以由其余向量线性表示的向量。

Answer 2

线性相关的一个向量组中至少存在一个向量可以被其他的向量线性表出。
具体而言，如果向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关，则至少存在一个不全为0的系数组{a1, a2, ..., an}，使得方程组a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，也即有一个向量可以被其他向量的线性组合所表示。如果对于所有向量vi，都有一个系数组可以使得方程组a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，则称该向量组是线性相关的。反之，如果向量组中的任意一个向量都不能被其他向量的线性组合所表示，则称该向量组是线性无关的。